Question

如下圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2 m的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a m，高度為b m.已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積成反比.現有制箱材料60 m²，問當a、b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小（A、B孔的面積忽略不計）？

Answer 1

解法一：設y為流出的水中雜質的質量分數，則y=，其中k＞0為比例系數.

依題意，即所求的a、b值使y值最小.

根據題設，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），得b=（0＜a＜30），于是y==.令y′==0，得a=6或a=－10（舍去）.

由于本題只有一個極值點，故當a=6此時b=3為所求，即當a為6 m，b為3 m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小.

解法二：依題意，即所求的a、b值使ab最大.由題設知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）.∵a+2b≥，∴2+ab≤30.當且僅當a=2b時上式取等號.由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18，即當a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18.由2b²=18，解得b=3，此時a=6.

故當a為6 m，b為3 m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小.