Question

如下圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬為2 m的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a m，高度為b m，已知流出的水中該雜質的質量分數與a,b的乘積ab成反比，現有制箱材料60 m²，問當a,b各為多少時，沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小？（A、B孔的面積忽略不計）

Answer 1

思路分析：題意中的“雜質的質量分數”可按“雜質的含量”理解，設為y，由題意y與ab成反比，又設比例系數為k，則y=.又由于受箱體材料多少的限制，a,b之間應有一定的關系式，即2×(2b)+2ab+2a=60,因此該題的數學模型是：已知ab+a+2b=30,a＞0,b＞0,當y=最小時，求a,b的值.

解法一：設流出的水中雜質的質量分數為y，由題意

y=(k＞0)，其中k為比例系數.

又據題意設2×2b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0)，

∴b=（由a＞0,b＞0,可得a＜30）.

∴y==.

令t=a+2,則a=t-2,

從而

=≤34-=18,

∴y=≥.

當且僅當t=64t,即t=8,

∴a=6時取“=”號.

由a=6,得b=3.

    綜上所述，當a=6 m,b=3 m時，經沉淀后流出的水中雜質的質量分數最小.

解法二：設流出的水中雜質的質量分數為y，依題意y=，其中k為比例系數，k＞0，要求y的最小值，必須求解ab的最大值.

題設4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a＞0,b＞0),

∵a+2b≥(當且僅當a=2b時取“=”號)，

∴ab+≤30,可解得0＜ab≤18.

由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3.

即a=6,b=3時，ab取最大值，從而y值最小.