Question

已知向量

OP

=( 2cos(

π

2

+x) ， -1 )，

OQ

=( -sin(

π

2

-x) ， cos2x )，定義f(x)=

OP

•

OQ

（1）求函數f（x）的表達式，并求其單調區間；
（2）在銳角△ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,平面向量數量積的運算

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）通過向量的數量積以及兩角和與差的三角函數，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，利用正弦函數的單調性求其單調區間；
（2）通過f（A）=1，求出A的值，然后結合bc=8，即可求△ABC的面積．

解答： 解：（1）f(x)=

OP

•

OQ

=2cos(

π

2

+x)(-sin(

π

2

-x)-cos2x=2sinxcosx-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
∴f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ⇒-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ
f（x）的遞增區間為[ -

π

8

+kπ ， 

3π

8

+kπ ]k∈R
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ⇒

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ
f（x）的遞減區間為[ 

3π

8

+kπ ， 

7π

8

+kπ ]k∈R
（2）由f（A）=1⇒

2

sin(2A-

π

4

)=1⇒sin(2A-

π

4

)=

2

2

又0＜A＜

π

2

⇒2A-

π

4

∈(-

π

4

，

3π

4

)所以2A-

π

4

=

π

4

⇒A=

π

4

故S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×sin

π

4

=2

2

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，正弦函數的單調性，三角函數的化簡求值，三角形的面積的求法，考查計算能力．