Question

14．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象與y軸的交點為（$0，\frac{3}{2}$），它在y軸右側的第一個最高點和最低點分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3）．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）該函數的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？
（3）求這個函數的單調遞增區間和對稱中心．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A，T，利用周期公式可求ω，又圖象與y軸交于點$（0，\frac{3}{2}）$，結合范圍$|φ|＜\frac{π}{2}$，可求φ，可得函數的解析式．
（2）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律即可得解．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數的遞增區間，令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，可得函數的對稱中心：

解答 （ 本題滿分為12分）
解：（1）由題意可得A=3，
由在y軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3），得：$\frac{T}{2}={x_0}+2π-{x_0}=2π$，
∴T=4π，從而$ω=\frac{1}{2}$，可得：f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
又圖象與y軸交于點$（0，\frac{3}{2}）$，
∴$\frac{3}{2}=3sinφ$⇒$sinφ=\frac{1}{2}$，
∵由于$|φ|＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=\frac{π}{6}$，
∴函數的解析式為$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$，…（5分）
（2）將函數y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再將得函數的圖象縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的兩倍，
最后將所得函數的圖象橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的3倍得到函數$y=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$的圖象，…（8分）
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得x∈$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]，（k∈Z）$，可得函數的遞增區間為：$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]，（k∈Z）$，…（10分）
令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，可得：x=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，可得函數的對稱中心：$（-\frac{π}{3}+2kπ，0）（k∈Z）$．…（12分）

點評 本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數的圖象和性質，考查了轉化思想，屬于基礎題．