Question

9．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，離心率e=$\frac{1}{2}$，點$D（0\;，\;\sqrt{3}）$在橢圓E上．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程；
（Ⅱ） 設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓E于A，B兩點，△DAF的面積為S_△DAF，△DBF的面積為S_△DBF，且S_△DAF：S_△DBF=2：1，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用e=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，求出a，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程為x=ty+1（t≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，利用韋達定理，結合S_△DAF：S_△DBF=2：1，求直線AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）因為e=$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{3}$，
所以a=2，c=1
所以橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．--------------（4分）
（Ⅱ）設直線AB的方程為x=ty+1（t≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
整理得（3t²+4）y²+6ty-9=0，
因為直線AB過橢圓的右焦點，
所以方程有兩個不等實根．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=$\frac{-6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{t}^{2}+4}$，
因為S_△DAF：S_△DBF=2：1，
所以AF=2FB，
所以y₁=-2y₂，
解得t=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直線AB的方程為x=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y+1---------------------（14分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，正確轉化是關鍵．