Question

【題目】已知， 為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中，且

（1）求證：線段的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）恒過(guò)定點(diǎn)；（2）面積的最大值.

【解析】試題分析：（1）由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知定點(diǎn)一定在軸上，設(shè)，由，可得，所以恒過(guò)定點(diǎn)；（2）直線方程： ，代入

得，根據(jù)根據(jù)韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式將面積用表示，換元后，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得結(jié)果.

試題解析：（1）由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知定點(diǎn)一定在軸上，設(shè)，

設(shè)中點(diǎn)為

則，

由，可得，所以恒過(guò)定點(diǎn)；

（2）直線方程： ，代入

得

由韋達(dá)定理知

點(diǎn)到直線的距離：

令，因?yàn)?/span>，所以

則，

可知， ， ， 為增函數(shù)；

， ， 為減函數(shù)．

所以： ，

所以面積的最大值．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系以及曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于難題.解決曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題一般有兩種方法：① 探索曲線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出曲線方程 ，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)，或者利用方程恒成立列方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo).② 從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān).