【題目】已知點A（0，﹣2），橢圓E： 
=1（a＞b＞0）的離心率為 
，F是橢圓的焦點，直線AF的斜率為 
，O為坐標原點．
（1）求E的方程；
（2）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．
【答案】
（1）
解：設F（c，0），由條件知 
，得 
，又 
，
所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 
．
（2）
解：依題意當l⊥x軸不合題意，故設直線l：y=kx﹣2，設P（x1，y1），Q（x2，y2）
將y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
當△=16（4k2﹣3）＞0，即 
時， 
從而 
又點O到直線PQ的距離 
，所以△OPQ的面積 
= 
，
設 
，則t＞0， 
，
當且僅當t=2，k=± 
等號成立，且滿足△＞0，
所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2
【解析】（1）通過離心率得到a、c關系，通過A求出a，即可求E的方程；（2）設直線l：y=kx﹣2，設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）將y=kx﹣2代入 ，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程．
高中必刷題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠生產產品x件的總成本C（x）=1000+x2（萬元），已知產品單價P（萬元）與產品件數x滿足：P2= 
，生產100件這樣的產品單價為50萬元．
（1）設產量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；
（2）產量x定為多少時總利潤L（x）（萬元）最大？并求最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知A、B、C為三個銳角，且A+B+C=π，若向量 
=（2sinA﹣2，cosA+sinA）與向量 
=（cosA﹣sinA，1+sinA）是共線向量． （Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函數y=2sin2B+cos 
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，現沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體如圖（2），使G1、G2、G3三點重合于點G．證明： 
（1）G在平面SEF上的射影為△SEF的垂心；
（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點． 
（1）證明：BE∥平面ADP；
（2）求直線BE與平面PDB所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l1：y=kx﹣1與雙曲線x2﹣y2=1的左支交于A，B兩點．
（1）求斜率k的取值范圍；
（2）若直線l2經過點P（﹣2，0）及線段AB的中點Q且l2在y軸上截距為﹣16，求直線l1的方程．
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