Question

設向量

a

=（2，sinθ），

b

=（1，cosθ），θ為銳角．
（1）若

a

•

b

=

5

2

，求sinθ+cosθ的值；
（2）若

a

∥

b

，求

1+cos2θ

sin2θ

的值．

Answer 1

考點：平面向量共線（平行）的坐標表示,平面向量數(shù)量積的運算,同角三角函數(shù)基本關系的運用

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應用

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算，結合同角的三角函數(shù)關系，求出sinθ+cosθ的值；
（2）由向量平行，求出tanθ的值，再把正弦、余弦化為正切，求出

1+cos2θ

sin2θ

的值．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（2，sinθ），

b

=（1，cosθ），
∴

a

•

b

=2+sinθcosθ；
又∵

a

•

b

=

5

2

，
∴2+sinθcosθ=

5

2

，
∴sinθcosθ=

1

2

；…（2分）
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=2；
又∵θ為銳角，∴sinθ+cosθ=

2

；…（7分）
（2）∵

a

∥

b

，
∴2•cosθ-1•sinθ=0，
∴tanθ=2；…（10分）
∴

1+cos2θ

sin2θ

=

sin2θ+2cos2θ

sin2θ

=

tan2θ+2

tan2θ

=1+

2

tan2θ

=1+

2

4

=

3

2

，…（15分）

點評：本題考查了平面向量的應用問題，也考查了三角函數(shù)的求值運算問題，是基礎題目．