Question

已知函數f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數，且f（3）＜f（5）
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式．
（2）若y=log_a[f（x）-ax]（a＞0，且a≠1）在區間[2，3]上為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：冪函數的性質,函數單調性的性質

專題：分類討論,函數的性質及應用

分析：（1）根據函數f（x）為偶函數，且f（3）＜f（5），求出m的值即可；
（2）求出函數y的解析式，討論a的值，求出函數y在區間[2，3]上為增函數時a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）為偶函數，且f（3）＜f（5），
∴-2m²+m+3＞0，
即2m²-m-3＜0，
解得-1＜m＜

3

2

；
當m=0時，-2m²+m+3=3，不滿足題意；
當m=1時，-2m²+m+3=2，滿足題意；
∴m=1時，f（x）=x²；
（2）∵y=log_a[f（x）-ax]
=log_a（x²-ax）
=log_a[(x-

a

2

)2-

a2

4

]，其中a＞0，且a≠1；
∴當0＜a＜1時，0＜

a

2

＜

1

2

，函數t=(x-

a

2

)2-

a2

4

在（-∞，

a

2

）是減函數，
對應函數y在（-∞，0）上是增函數，不滿足題意；
當a＞1時，

a

2

＞

1

2

，函數t=(x-

a

2

)2-

a2

4

在（

a

2

，+∞）上是增函數，
又x²-ax＞0，得x＞a，函數y在（a，+∞）上是增函數，
∴

a＞2 a 2 ≥2

，解得a≥4；
∴函數y在區間[2，3]上為增函數時，實數a的取值范圍是[4，+∞）．

點評：本題考查了求冪函數的解析式的應用問題，也考查了分類討論思想的應用問題與函數單調性的應用問題，是綜合性題目．