Question

20．已知向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為120°，且$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=4$，若$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，則實數λ的值為（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $-\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $-\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 根據向量的數量積的運算和向量的垂直的條件計算即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為120°，且$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=4$，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•cosθ=2•4•cos120°=-4，
若$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，則（$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=（-λ+1）•$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+λ•${\overrightarrow{AC}}^{2}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$=（1-λ）•（-4）+16λ-4=0，
求得λ=$\frac{2}{5}$，
故選：C．

點評 本題考查了向量的數量積的運算和向量的垂直的條件，屬于基礎題．