Question

15．函數f（x）=x+x³（x∈R），當$0＜θ＜\frac{π}{2}$時，f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立，則實數a的取值范圍是{a|a≤1}．

Answer 1

分析 由題意可得函數f（x）為奇函數，且函數在R上單調遞增，結合題意求得（1-sinθ）a＜1，即a＜$\frac{1}{1-sinθ}$．再根據$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，求得a的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=x+x³（x∈R），∴函數f（x）為奇函數，且函數在R上單調遞增，
當$0＜θ＜\frac{π}{2}$時，f（asinθ）+f（1-a）＞0恒成立，即f（asinθ）＞-f（1-a）=f（a-1）恒成立，
即 f（asinθ）＞f（a-1）恒成立，∴asinθ＞a-1，即（1-sinθ）a＜1．
當$0＜θ＜\frac{π}{2}$時，sinθ∈（ 0，1），∴a＜$\frac{1}{1-sinθ}$．
由于$\frac{1}{1-sinθ}$＞1，∴a≤1，
故答案為：{a|a≤1}．

點評 本題主要考查函數的奇偶性和單調性的綜合應用，函數的恒成立問題，正弦函數的值域，屬于中檔題．