Question

若α，β均為銳角，且

cosα

sinβ

+

cosβ

sinα

=2，求證：α+β=

π

2

．

Answer 1

考點：三角函數恒等式的證明

專題：推理和證明

分析：利用反證法，（1）若α+β＜

π

2

，可證得

cosα

sinβ

+

cosβ

sinα

＞2，與題設相矛盾，舍去；α+β＞

π

2

，同理可得

cosα

sinβ

+

cosβ

sinα

＜2，也與題設矛盾，舍去．從而可證命題成立．

解答： 證明（反證法）：
（1）α，β均為銳角，若α+β＜

π

2

，則α＜

π

2

-β，β＜

π

2

-α，
所以sinα＜cosβ，sinβ＜cosα，所以

cosα

sinβ

＞1，

cosβ

sinα

＞1，
因此

cosα

sinβ

+

cosβ

sinα

＞2，這與題設相矛盾，舍去；
（2）若α+β＞

π

2

，同理可得

cosα

sinβ

+

cosβ

sinα

＜2，也與題設矛盾，舍去．
綜上分析可知，α，β均為銳角，

cosα

sinβ

+

cosβ

sinα

=2時，α+β=

π

2

．

點評：本題考查三角函數恒等式的證明，利用反證法證明是關鍵，考查邏輯思維與推理證明能力，屬于中檔題．