Question

已知冪函數y=f（x）=x-2m2-m+3，其中m∈[-2，2]，m∈Z，滿足
（1）定區間（0，+∞）的增函數；
（2）對任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；
求同時滿足（1）（2）的冪函數f（x）的解析式，并求x∈[0，3]時f（x）的值域．

Answer 1

考點：冪函數圖象及其與指數的關系,冪函數的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數的性質及應用

分析：根據冪函數的單調性與指數的關系，可得m∈（-

3

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，1），結合m∈Z，可得m=-1，或m=0，再結合對任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；可得當m=0時，y=f（x）=x³滿足條件，進而可得x∈[0，3]時f（x）的值域．

解答： 解：∵冪函數y=f（x）=x-2m2-m+3在區間（0，+∞）為增函數，
則-2m²-m+3＞0，
即2m²+m-3＜0，
解得：m∈（-

3

2

，1），
又∵m∈Z，
∴m=-1，或m=0，
當m=-1時，y=f（x）=x²為偶函數，不滿足f（-x）+f（x）=0；
當m=0時，y=f（x）=x³為奇函數，滿足f（-x）+f（x）=0；
當x∈[0，3]時，f（x）∈[0，27]，
即函數f（x）的值域為[0，27]．

點評：本題考查的知識點是冪函數圖象及其指數的關系，冪函數的概念，解析式，值域，熟練掌握冪函數的圖象和性質，是解答的關鍵．