Question

若奇函數f（x）在[2，4]上為增函數，且有最小值0，則它在[-4，-2]上（　　）

A．是減函數，有最小值0

B．是增函數，有最小值0

C．是減函數，有最大值0

D．是增函數，有最大值0

Answer 1

分析：根據題意得任意的x∈[2，4]，有f（x）≥f（2）恒成立，從而對x∈[-4，-2]都有f（-x）≥f（2）恒成立，由函數為奇函數得對任意的x∈[-4，-2]有f（x）≤f（-2）=0恒成立．由此可得答案．

解答：解：∵奇函數y=f（x）在區間[2，4]上是增函數，∴f（x）在區間[-4，-2]上也是增函數
∵函數y=f（x）在區間[2，4]上是增函數，有最小值0，
∴當2≤x≤4時，[f（x）]_min=f（2）=0，
即任意的x∈[2，4]，f（x）≥f（2）恒成立．
又∵x∈[-4，-2]時，-x∈[2，4]，得f（-x）≥f（2）恒成立，
∴根據函數為奇函數，得-f（x）≥f（2）即f（x）≤f（-2），
∵f（-2）=-f（2）=0，
∴對任意的x∈[-4，-2]，f（x）≤f（-2）=0恒成立，
因此，f（x）在區間[-4，-2]上為增函數且有最大值f（-2）=0．
故選：D

點評：本題給出函數在某個區間上的奇偶性與單調性，求它在關于原點對稱區間上的單調性與最值．著重考查了函數的奇偶性和單調性及其相互關系等知識，屬于中檔題．