Question

1．若空間向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足：$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，則cos＜$\overrightarrow a，\overrightarrow b＞$=$-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

Answer 1

分析 根據向量的垂直和向量的數量積的運算，和向量的夾角公式即可求出．

解答 解：∵$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0
∴2$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{b}$²=0，2$\overrightarrow{a}$²-3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{b}$²=0，
∴8$\overrightarrow{a}$²=5$\overrightarrow{b}$²，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{b}$²=-$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$²，
∴cos＜$\overrightarrow a，\overrightarrow b＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故答案為：$-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點評 本題考查了向量的數量積的運算，和向量的夾角公式，屬于中檔題．