Question

6．設函數f（x）=e^mx+x²-mx．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）-f（x₂）≤e-1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過m的范圍，判斷導函數的符號，推出函數的單調區間．
（2）利用函數的單調性，判斷函數的極值，轉化對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）-f（x₂）≤e-1，得到不等式組，即可求解m的范圍．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）函數f（x）=e^mx+x²-mx，可得f′（x）=m（e^mx-1）+2x．
若m≥0，則當x∈（-∞，0）時，e^mx-1≤0，f′（x）＜0；
當x∈（0，+∞）時，e^mx-1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，則當x∈（-∞，0）時，e^mx-1＞0，f′（x）＜0；
當x∈（0，+∞）時，e^mx-1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（-∞，0）時單調遞減，在（0，+∞）單調遞增．
（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[-1，0]單調遞減，在[0，1]單調遞增，故f（x）在x=0處取得最小值．
所以對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1的要條件是$\left\{\begin{array}{l}f（1）-f（0）≤e-1\\ f（{-1}）-f（0）≤e-1\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{e^m}-m≤e-1\\{e^{-m}}+m≤e-1\end{array}\right.$，①
令g（x）=e^x-x，則g（x）=e^x-1，g（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0單調遞減，不妨設g（x₀）=e-1，因為$g（{-1}）=1-\frac{1}{e}＜e-1，g（{-2}）=2-\frac{1}{e^2}＞e-1$，所以x₀∈（-2，-1），
所以$\left\{\begin{array}{l}-{x_0}≤m≤1\\-{x_0}≤-m≤1\end{array}\right.$，綜上，m的取值范圍為[-1，1]．

點評 本題考查導數與函數的單調性的判斷單調區間的求法，考查分析問題解決問題的能力、轉化思想以及分類討論思想的應用．