Question

15．若函數$f（x）=\sqrt{3}sinx-cosx$，$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，則函數f（x）值域為（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-2，1]
• C． $[{-2，\sqrt{3}}]$
• D． $[{-1，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 化函數$f（x）=\sqrt{3}sinx-cosx$為正弦型函數，根據正弦函數的有界性和x的取值范圍求出f（x）的最值即可．

解答 解：函數$f（x）=\sqrt{3}sinx-cosx$
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）
=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
當$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時，-$\frac{2π}{3}$≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{3}$，
所以當x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{3}$時，
f（x）取得最小值為2×（-1）=-2；
當x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，即x=$\frac{π}{2}$時，
f（x）取得最大值為2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；
所以函數f（x）的值域為[-2，$\sqrt{3}$]．
故選：C．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．