Question

11．已知關于x的方程k•9^x-3k•3^x+6（k-5）=0，x∈[0，2]；分別求滿足下列條件的實數k的取值范圍：（1）有解；（2）有唯一解；（3）有兩個解．

Answer 1

分析 （1）設t=3^x，由指數函數的單調性，可得t的范圍，將方程化為k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，設f（t）=t²-3t+6，求出在[1，9]的值域，即可得到所求k的范圍．
（2）利用（1）的結果，通過函數的單調性與函數圖象，求解方程只有一個解時k的范圍；
（3）利用函數的圖象，寫出由兩個解時k的范圍．

解答 解：（1）設t=3^x，由x∈[0，2]，可得t∈[1，9]，
方程k•9^x-k•3^x+1+6（k-5）=0，即為kt²-3kt+6（k-5）=0，
即k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，
由f（t）=t²-3t+6=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
當t=$\frac{3}{2}$∈[1，9]時，f（t）取得最小值$\frac{15}{4}$，
f（1）=4，f（9）=60，可得f（t）的最大值為60．
可得k的最小值為$\frac{30}{60}$=$\frac{1}{2}$，
k的最大值為$\frac{30}{\frac{15}{4}}$=8，
即有k的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，8]．
（2）由（1）可知k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]有解，
由f（t）=t²-3t+6=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
t∈[1，$\frac{3}{2}$）f（t）是減函數，函數k是增函數；
t∈（$\frac{3}{2}$，9]，f（t）是增函數，函數k是減函數．
t=1時，k=$\frac{15}{2}$，t=9時，k=$\frac{1}{2}$，函數k=$\frac{30}{{t}^{2}-3t+6}$在[1，9]的圖象如圖：
有唯一解；實數k的取值范圍：$[\frac{1}{2}，\frac{15}{2}）∪\{8\}$；
（3）有兩個解．實數k的取值范圍：$[\frac{15}{2}，8）$；

點評 本題考查函數方程的轉化思想，注意運用換元法和指數函數、二次函數的值域求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．