Question

19．已知函數f（x）=lnx-x²+x+2．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在區間（0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出函數f（x）在（0，a]的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-x²+x+2，其定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
∵x＞0，∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0，
故函數f（x）的單調遞增區間是（0，1）；單調遞減區間是（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數f（x）的單調遞增區間是（0，1）；單調遞減區間是（1，+∞），
當0＜a≤1時，f（x）在區間（0，a]上單調遞增，f（x）的最大值是f（a）=lna-a²+a+2；
當a＞1時，f（x）在區間（0，1）上單調遞增，在（1，a）上單調遞減，
則f（x）在x=1處取得極大值，也即該函數在（0，a]上的最大值，此時f（x）的最大值是f（1）=2；
∴f（x）在區間（0，a]上的最大值f（a）=$\left\{\begin{array}{l}{lna{-a}^{2}+a+2，0＜a≤1}\\{2，a＞1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．