Question

12．直角坐標系xoy中，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），以原點O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²cos2θ=1．直線l與曲線C交于A，B兩點．
（1）求|AB|的長；     
（2）若P點的極坐標為（1，$\frac{π}{2}$），求AB中點M到P的距離．

Answer 1

分析 （1）根據x=ρcosθ，y=ρsinθ求出直線的直角坐標方程，從而求出AB的長，（2）將P帶入直線l，求出PM的長即可．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程為ρ²cos2θ=1，
∴ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，
即x²-y²=1，
而直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），
帶入x²-y²=1，
得：t²-2t-4=0，
設A、B對應的參數分別是t₁，t₂，
則t₁+t₂=2，t₁t₂=-4，
則|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{{{（t}_{1}{+t}_{2}）}^{2}-{{4t}_{1}t}_{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（2）P點的極坐標為（1，$\frac{π}{2}$），直角坐標是（0，1），
P（0，1）在直線l上，AB的中點M對應的參數為：
$\frac{{{t}_{1}+t}_{2}}{2}$=1，∴|PM|=1．

點評 本題考查了直線方程以及以及極坐標方程，考查點到直線的距離公式，是一道中檔題．