Question

2．如圖F₁、F₂是橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1與雙曲線C₂的公共焦點，A、B分別是C₁、C₂在第二、四象限的公共點，若四邊形AF₁BF₂為矩形，則C₂的離心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 設|AF₁|=x，|AF₂|=y，利用橢圓的定義，四邊形AF₁BF₂為矩形，可求出x，y的值，進而可得雙曲線的幾何量，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵點A為橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的點，
∴2a=4，b=1，c=$\sqrt{3}$；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4，即x+y=4；①
又四邊形AF₁BF₂為矩形，
∴$|A{F}_{1}{|}^{2}+|A{F}_{2}{|}^{2}=|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，
即x²+y²=（2c）²=12，②
由①②得x=2-$\sqrt{2}$，y=2+$\sqrt{2}$．
設雙曲線C₂的實軸長為2a′，焦距為2c′，
則2a′=|AF₂|-|AF₁|=y-x=2$\sqrt{2}$，2c′=2$\sqrt{3}$，
∴C₂的離心率是e=$\frac{c′}{a′}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質，求得|AF₁|與|AF₂|是關鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．