Question

17．函數f（x）=x+$\frac{1}{2x}$，x∈（$\frac{1}{2}$，2），若f（x）-m＞0對一切x∈（$\frac{1}{2}$，2）恒成立，則實數m的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （-∞，$\sqrt{2}$）
• C． （-∞，$\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）

Answer 1

分析 由題意知f（x）-m＞0對一切x∈（$\frac{1}{2}$，2）恒成立，可轉化為：m＜x+$\frac{1}{2x}$ 在（$\frac{1}{2}$，2）上恒成立．

解答 解：∵f（x）-m＞0 即 f（x）＞m⇒m＜x+$\frac{1}{2x}$；
令h（x）=x+$\frac{1}{2x}$ 
h'（x）=1-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{x}^{2}}$，令h'（x）=0⇒x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$ （負舍）；
所以，h（x）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上單調遞減，（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2）上單調遞增；
∴h（x）_min=$\sqrt{2}$；
所以，m的取值范圍為（-∞，$\sqrt{2}$）；
故選：B

點評 本題主要考察了對勾函數、利用導數判斷原函數單調性以及函數恒成立問題，屬中等題．