Question

20．已知a＞1，f（x）=x²-a^x，當x∈（-1，1）時，均有f（x）＜$\frac{2}{3}$，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，3]
• C． （1，$\frac{3}{2}$）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 利用函數的單調性求f（x）在x∈（-1，1）的值域，根據f（x）＜$\frac{2}{3}$建立關系，可得a的范圍．

解答 解：∵a＞1，函數y=-a^x是減函數，
當x∈（-1，1）時，函數y=x²在（-1，0）時單調遞減，在（0，1）單調遞增，
∴f（x）=x²-a^x在x∈（-1，1）的值域為（-1，1-$\frac{1}{a}$），即1$-\frac{1}{a}$$≤\frac{2}{3}$，
解得：a≤3．
∴實數a的取值范圍是（1，3]
故選B．

點評 本題考查了復合函數的值域的求法，利用值域范圍來解參數的范圍問題．屬于基礎題．