Question

4．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=l，點P在棱DF上．
（Ⅰ）若P為DF的中點，求證：BF∥平面ACP；
（Ⅱ）求三棱錐P-BEC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，交AC于點O，連接OP，由P是DF中點，O為矩形ABCD 對角線的交點，利用三角形中位線定理可得BF∥OP，再由線面平行的判定可得BF∥平面ACP．   
（II）由已知可證平面CDFE⊥平面ADF，在Rt△DAF中，求得A到平面CDFE的高h，再求出三角形PEC的面積，利用等積法求得三棱錐P-BEC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD，交AC于點O，連接OP．
∵P是DF中點，O為矩形ABCD 對角線的交點，
∴OP為三角形BDF中位線，
∴BF∥OP，
∵BF?平面ACP，OP?平面ACP，
∴BF∥平面ACP．   
（II）解：∵∠BAF=90°，∴AB⊥AF，
又四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADF，又AB∥EF，EF?平面CDFE，
∴平面CDFE⊥平面ADF，
在Rt△DAF中，由AD=2，AF=l，求得A到平面CDFE的高h=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
又${S}_{△PEC}=\frac{1}{2}{S}_{四邊形CDFE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+1）×\sqrt{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{8}$．
∴${V_{P-BEC}}={V_{B-PEC}}=\frac{1}{3}{S_{△PEC}}h=\frac{1}{3}×\frac{{3\sqrt{5}}}{8}×\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{4}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．