Question

15．若對于任意正數x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（8）=-3，則$f（a）=\frac{1}{2}$時，正數a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分別賦值，即可求出答案．

解答 解：f（8）=f（2×4）=f（2）+f（4）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）=-3，
∴f（2）=-1，
∴f（2）=2f（$\sqrt{2}$）=-1，
∴f（$\sqrt{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴f（$\sqrt{2}$）=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2）=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+f（2）=-$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
∴a=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查了抽象函數的問題，關鍵是賦值，屬于基礎題．