Question

如圖，在三角形ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，求所得旋轉體的表面積和體積．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：由已知中，AC=3，BC=4，AB=5，可得三角形ABC為直角三角形，我們可以判斷出以斜邊AB為軸旋轉一周，所得旋轉體的形狀是AB邊的高CO為底面半徑的兩個圓錐組成的組合體，計算出底面半徑及兩個圓錐高的和，代入圓錐體積公式，即可求出旋轉體的體積；又由該幾何體的表面積是兩個圓錐的側面積之和，分別計算出兩個圓錐的母線長，代入圓錐側面積公式，即可得到答案．

解答： 解：∵在三角形ABC中，若AC=3，BC=4，AB=5，
∴三角形ABC為直角三角形，
如圖以斜邊AB為軸旋轉一周，得旋轉體是以AB邊的高CO為底面半徑的兩個圓錐組成的組合體

∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴CO=

AC•BC

AB

=

12

5

，
故此旋轉體的體積V=

1

3

•πr²•h=

1

3

•π•CO²•AB=

48

5

π …6分
（2）又∵AC=3，BC=4，
故此旋轉體的表面積
S=πr•（l+l′）=2πCO•（AC+BC）=

84π

5

點評：本題考查的知識點是旋轉體，圓錐的體積和表面積，其中根據已知判斷出旋轉所得旋轉體的形狀及底面半徑，高，母線長等關鍵幾何量，是解答本題的關鍵．