Question

設函數f（x）=

ax

x2+b

在x=-1處取得極值-2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）m為何值時，函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增？
（3）若直線l與f（x）的圖象相切于P（x₀，y₀），求l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的判斷與證明

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，根據函數f（x）在x=-1處取得極值-2，建立兩個等式關系，求出兩個變量a，b即可；
（2）求出導數，令導函數大于0，即可得到函數的遞增區間，又由函數f（x）在（m，2m+1）上是增函數，則（m，2m+1）為遞增區間的子集，建立關于參數m的不等式，解出即可求得結論；
（3）直線l的斜率為k=f′（x₀）=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]，換元，即可求l的斜率k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=

ax

x2+b

，∴f′（x）=

a(b-x2)

(x2+b)2

又函數f（x）=

ax

x2+b

在x=-1處取得極值-2，∴

a(b-1)=0 -a 1+b =-2

，
解得：a=4，b=1，
∴f（x）=

4x

x2+1

…2分
（2）∵f′（x）=

4(1-x2)

(x2+1)2

，
令f′（x）＞0，解得-1＜x＜1
∴函數f（x）的遞增區間為（-1，1）．
又∵f（x）在（m，2m+1）上單調遞增，
∴

m≥-1 2m+1≤1

，解得-1≤m≤0．
∵在區間（m，2m+1）中2m+1＞m，∴m＞-1．
綜上，-1＜m≤0．…5分
（3）∵f′（x）=

4(1-x2)

(x2+1)2

，
∴直線l的斜率為k=f′（x₀）=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]…10分
令

1

x02+1

=t，t∈（0，1]，∴k=4（2t²-t）∈[-

1

2

，4]…12分

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，考查利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．