Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，則f（x）=

a

•

b

-4|

a

+

b

|的最小值為（　　）

• A、7
• B、-7
• C、6
• D、

  3

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的求值,平面向量及應用

分析：應用向量的數量積的坐標表示及模的平方等于向量的平方，結合兩角和的余弦公式、二倍角公式，以及余弦函數的單調性，結合二次函數的值域，即可得到最小值．

解答： 解：由于向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
則

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，|

a

|=|

b

|=1，
|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

1+1+2cos2x

=

2×2cos2x

=2cosx（x∈[0，

π

2

]），
則f（x）=

a

•

b

-4|

a

+

b

|=cos2x-8cosx=2cos²x-8cosx-1
=2（cosx-2）²-9，
由于cosx∈[0，1]，則cosx=1，即x=0時，f（x）取得最小值，且為-7．
故選B．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標表示和性質，考查二倍角公式和兩角和的余弦公式，考查余弦函數的單調性及應用，考查運算能力，屬于中檔題．