Question

已知平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinx，cosx)，設函數f（x）=

a

•

b

（1）若f（x）=0且x∈（0，π）求x的值；
（2）求函數f（x）取得最大值時，平面向量

a

與

b

的夾角大小．

Answer 1

考點：數量積表示兩個向量的夾角,平面向量數量積的運算,兩角和與差的正弦函數

專題：平面向量及應用

分析：（1）由向量和三角函數易得f（x）=2sin(x-

π

6

)，令2sin(x-

π

6

)=0，結合x的范圍易得；
（2）由三角函數易得x=2kπ+

2π

3

時，f（x）_max=2，此時

a

=(

3

，-1)，

b

=(

3

2

，-

1

2

)，由夾角公式可得．

解答： 解：（1）∵

a

=(

3

，-1)，

b

=(sinx，cosx)，
∴f(x)=

a

•

b

=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)，
又∵f（x）=0，∴2sin(x-

π

6

)=0，
∴x-

π

6

=kπ(k∈Z)，解得x=kπ+

π

6

(k∈Z)
又∵x∈（0，π），∴當k=0時，x=

π

6

（2）∵f(x)=2sin(x-

π

6

)，
∴當x-

π

6

=2kπ+

π

2

即x=2kπ+

2π

3

時，f（x）_max=2，
此時

a

=(

3

，-1)，

b

=(

3

2

，-

1

2

)
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

2

2×1

=1，
∴當函數f（x）取得最大值時，平面向量

a

與

b

的夾角＜

a

，

b

＞=0為0

點評：本題考查平面向量的數量積和和差角的三角函數，屬基礎題．