Question

銳角△ABC的內心為I，過點A作直線BI的垂線，垂足為H，點E為內切圓I與邊CA的切點．若∠C=50°，則∠IEH的度數=

 

．

Answer 1

考點：弦切角

專題：直線與圓

分析：由于⊙I切AC于點E，可得IE⊥AC，又AH⊥IH，可得A、I、H、E四點共圓，在此圓中∠IEH與∠IAH對同弧．再利用三角形內角平分線的性質和三角形的內角和定理即可得出．

解答： 解：∵⊙I切AC于點E，∴IE⊥AC，得∠AEI=90°，
又∵AH⊥IH，可得∠AHI=90°，
∴∠AEI=∠AHI=90°，
因此，A、I、H、E四點共圓，在此圓中∠IEH與∠IAH對同弧，
∴∠IEH=∠IAH．
∵銳角△ABC的內心為I，
∴AI、BI分別是∠BAC、∠ABC的平分線，
可得∠IAB=

1

2

∠BAC，∠IBA=

1

2

∠ABC，
因此，∠IAB+∠IBA=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠C）=

1

2

（180°-50°）=65°．
∵∠AIH為△ABD的外角，∴∠AIH=∠IAB+∠IBA=65°，
Rt△AIH中，∠IAH=90°-∠AIH=25°，可得∠IEH=∠IAH=25°．
故答案為：25°．

點評：本題考查了四點共圓的判定與性質、弦切角定理、三角形內角平分線的性質和三角形的內角和定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．