Question

橢圓的焦點為F₁、F₂，過點F₁作直線與橢圓相交，被橢圓截得的最短的線段MN長為

32

5

，△MF₂N的周長為20，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：運用橢圓的定義，可得4a=20，解得a，再由直線垂直于x軸時，弦長最短，求出弦長，解得b，進而得到c，再由離心率公式，即可得到．

解答： 解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則由橢圓的定義，可得，MF₁+MF₂=NF₁+NF₂=2a，
由于△MF₂N的周長為20，則4a=20，即a=5，
過點F₁作直線與橢圓相交，當直線垂直于x軸時，弦長最短，
令x=-c，代入橢圓方程，解得，y=±

b2

a

，
即有

2b2

a

=

32

5

，解得，b²=16，c²=9，
則離心率e=

c

a

=

3

5

．
故答案為：

3

5

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質及定義，考查離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題．