Question

4．如圖，D是Rt△BAC斜邊BC上的一點，AC=$\sqrt{3}$DC．
（1）若BD=2DC=2，求AD的長．
（2）若AB=AD，求角B．

Answer 1

分析 （1）由已知可求DC，AC，cosC的值，利用余弦定理即可得解AD的值．
（2）設AB=AD=1，則由余弦定理可得BD=2cosB，進而可求BC，CD，AC，可得$tanB=\sqrt{3}（{\frac{1}{cosB}-2cosB}）$，利用同角三角函數(shù)基本關系式化簡可得sinB=-$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin²B，解得sinB，結合B的范圍即可得解B的值．

解答 解：（1）∵BD=2DC=2，AC=$\sqrt{3}$DC=$\sqrt{3}$．
∴cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}-2AC•CD•cosC}$=$\sqrt{3+2-2×1×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{2}$．
（2）∵設AB=AD=1，則由余弦定理可得：BD=2cosB，
∴$BC=\frac{1}{cosB}$，$CD=\frac{1}{cosB}-2cosB$，
又∵AC=tanB，
∴$tanB=\sqrt{3}（{\frac{1}{cosB}-2cosB}）$，化簡可得：sinB=-$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin²B，
化簡可得：$sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去），
∴$B=\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．