Question

已知在平面直角坐標系xOy中，已知⊙C：x²+y²-6x+5=0，點A、B在⊙C上，且AB=2

3

，則|

OA

+

OB

|的最小值是

 

．

Answer 1

考點：向量的模

專題：平面向量及應用

分析：本題可利用AB中點M去研究，先通過坐標關系，將

OA

+

OB

轉化為

OM

，用根據AB=2

3

得到M點的軌跡，由圖形的幾何特征，求出|

OA

+

OB

|的最大值．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（x′，y′）．
∵x′=

x1+x2

2

，y′=

y1+y2

2

∴

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=2

OM

，
∵圓C：x²+y²-6x+5=0，
∴（x-3）²+y²=4，圓心C（3，0），半徑CA=2．
∵點A，B在圓C上，AB=2

3

，
∴CA²-CM²=（

1

2

AB）²，
即CM=1．
點M在以C為圓心，半徑r=1的圓上．
∴OM≥OC-r=3-1=2．
∴|

OM

|≥2，|

OA

+

OB

|≥4．
故答案為：4．

點評：本題考查了數形結合思想和函數方程的思想，可利用AB中點M去研究，先通過坐標關系，將

OA

+

OB

轉化為

OM

，用根據AB=2

3

得到M點的軌跡，由圖形的幾何特征，求出

OM

模的最大值，得到本題答案．