Question

存在實數a，使得對函數y=g（x）定義域內的任意x，都有a＜g（x）成立，則稱a為g（x）的下界，若a為所有下界中的最大的數，則稱a為函數g（x）的下確界，已知x、y、z∈R⁺，且以x、y、z為邊長可以構成三角形，求f（x，y，z）=

xy+yz+zx

(x+y+z)2

 的上確界．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：根據上確界和下確界的定義求出函數的最值即可得到結論．

解答： 解：∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）＞0，
∴2（x+y+z）²=2x²+2y²+2z²+4xy+4xz+4yz=（x²+y²）+（y²+z²）+（z²+x²）+4xy+4xz+4yz）
≥2xy+2xz+2yz+4xy+4xz+4yz=6xy+6yz+6zx當且僅當x=y=z取等號，
∴（x+y+z）²≥3（xy+yz+zx），
則f（x，y，z）=

xy+yz+zx

(x+y+z)2

≤

xy+yz+zx

3(xy+yz+zx)

=

1

3

，
故f（x，y，z）=

xy+yz+zx

(x+y+z)2

 的上確界是

1

3

．

點評：本題主要考查函數的最值的求解，根據確界的定義是解決本題的關鍵．