Question

已知△ABC是邊長為2

3

的正三角形，EF為△ABC的外接圓O的一條直徑，M為△ABC的邊上的動點，則

ME

•

FM

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：首先，建立平面直角坐標系，然后，對點M的取值情況分三種情形進行討論，然后，求解其最大值．

解答： 解：如下圖所示，以邊AB所在直線為x軸，以其中點為坐標原點建立平面直角坐標系，
∵該正三角形ABC的邊長為2

3

，
∴A（-

3

，0），B（

3

，0），C（0，3），
E（0，-1），F（0，3），
當點M在邊AB上時，設點M（x₀，0），則-

3

≤x₀≤

3

，
∵

ME

=（-x₀，-1），

FM

=（x₀，-3），
∴

ME

•

FM

=-x₀²+3，
∵-

3

≤x₀≤

3

，
∴

ME

•

FM

的最大值為3，
當點M在邊BC上時，
∵直線BC的斜率為-

3

，
∴直線BC的方程為：

3

x+y-3=0，
設點M（x₀，3-

3

x₀），則0≤x₀≤

3

，
∵

ME

=（-x₀，

3

x₀-4），

FM

=（x₀，

3

x₀），
∴

ME

•

FM

=2x₀²-4

3

x0，
∵0≤x₀≤

3

，
∴

ME

•

FM

的最大值為0，
當點M在邊AC上時，
∵直線AC的斜率為

3

，
∴直線AC的方程為：

3

x-y+3=0，
設點M（x₀，3+

3

x₀），則-

3

≤x₀≤0，
∵

ME

=（-x₀，-

3

x₀-4），

FM

=（x₀，

3

x₀），
∴

ME

•

FM

=-4x₀²-4

3

x0，
∵-

3

≤x₀≤0，
∴

ME

•

FM

的最大值為3，
綜上，最大值為3，
故答案為：3．

點評：本題重點考查了平面向量的基本運算、數量積的運算性質等知識，屬于中檔題．