Question

在空間中，若射線OA、OB、OC兩兩所成角都為，且OA=2，OB=1，則直線AB與平面OBC所成角的余弦值為    ．

Answer 1

【答案】分析：過(guò)A作AM⊥平面OBC，垂足為M，連接AM，BM，則根據(jù)題意可得OM在∠COB的角平分線上，∠ABM是直線AB與平面OBC所成角由三余弦定理可得，cos∠AOM•cos∠MOB=cos∠AOB可求cos∠AOM，在Rt△AOM中，可得AM=AOsin∠AOM，Rt△ABM中，可求，進(jìn)而可求余弦值
解答：解：過(guò)A作AM⊥平面OBC，垂足為M，連接AM，BM
則根據(jù)題意可得OM在∠COB的角平分線上，∠ABM是直線AB與平面OBC所成角
∴∠BOM=30°
由三余弦定理可得，cos∠AOM•cos∠MOB=cos∠AOB
∴
∵OA=2，Rt△AOM中，AM=AOsin∠AOM=
△AOB中，AO=2，OB=1，∠AOB=60°，由余弦定理可得AB²=1+4-2×1×2×cos60°=3

Rt△ABM中，=
∴
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成角的求解，解決本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①當(dāng)過(guò)A作AM⊥平面OBC，則由射線OA、OB、OC兩兩所成角都為，可得OM在∠COB的角平分線上，②三余弦定理的應(yīng)用是解決本題的另一個(gè)關(guān)鍵，只有知道該結(jié)論，才能求解出題目中的AM，進(jìn)而可求所要求解的角．