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在空間中,若射線OA、OB、OC兩兩所成角都為
π
3
,且OA=2,OB=1,則直線AB與平面OBC所成角的余弦值為
1
3
1
3
分析:過A作AM⊥平面OBC,垂足為M,連接AM,BM,則根據(jù)題意可得OM在∠COB的角平分線上,∠ABM是直線AB與平面OBC所成角由三余弦定理可得,cos∠AOM•cos∠MOB=cos∠AOB可求cos∠AOM,在Rt△AOM中,可得AM=AOsin∠AOM,Rt△ABM中,sin∠ABM=
AM
AB
可求,進而可求余弦值
解答:解:過A作AM⊥平面OBC,垂足為M,連接AM,BM
則根據(jù)題意可得OM在∠COB的角平分線上,∠ABM是直線AB與平面OBC所成角
∴∠BOM=30°
由三余弦定理可得,cos∠AOM•cos∠MOB=cos∠AOB
cos∠AOM=
cos60°
cos30°
=
1
3
=
3
3

∵OA=2,Rt△AOM中,AM=AOsin∠AOM=
2
6
3

△AOB中,AO=2,OB=1,∠AOB=60°,由余弦定理可得AB2=1+4-2×1×2×cos60°=3
AB=
3

Rt△ABM中,sin∠ABM=
AM
AB
=
2
6
3
3
=
2
2
3

cos∠ABM=
1
3

故答案為:
1
3
點評:本題主要考查了直線與平面所成角的求解,解決本題的關(guān)鍵有兩點:①當過A作AM⊥平面OBC,則由射線OA、OB、OC兩兩所成角都為
π
3
,可得OM在∠COB的角平分線上,②三余弦定理的應用是解決本題的另一個關(guān)鍵,只有知道該結(jié)論,才能求解出題目中的AM,進而可求所要求解的角.
練習冊系列答案
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π3
,且OA=2,OB=1,則直線AB與平面OBC所成角的大小為
 

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在空間中,若射線OA、OB、OC兩兩所成角都為
π
3
,且OA=2,OB=1,則直線AB與平面OBC所成角的正弦值為
2
2
3
2
2
3

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π
3
,則直線OA與平面OBC所成角的大小為
arccos
3
3
arccos
3
3

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在空間中,若射線OA、OB、OC兩兩所成角都為,且OA=2,OB=1,則直線AB與平面OBC所成角的余弦值為   

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