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在空間中,若射線OA、OB、OC兩兩所成角都為
π
3
,且OA=2,OB=1,則直線AB與平面OBC所成角的正弦值為
2
2
3
2
2
3
分析:取OC=2,可得平面OBC⊥平面ABC,可確定∠ABC即為AB與面OBC所成的角,在△ABC中,利用余弦定理可求直線AB與平面OBC所成角的余弦值,從而可求直線AB與平面OBC所成角的正弦值.
解答:解:由∠AOB=60°、OA=2OB=2得AB⊥OB,AB=
3

不妨取OC=2,由∠COB=60°,得CB⊥OB,BC=
3

∵CB∩AB=B
∴OB⊥平面ABC
∵OB?平面OBC
∴平面OBC⊥平面ABC
過A作AD⊥BC
∴AD⊥平面OBC
∴∠ABC即為AB與面OBC所成的角
∵OA=OC=2,∠AOC=60°,∴AC=2
在△ABC中,AB=BC=
3
,AC=2
由余弦定理,cos∠ABC=
3+3-4
3
×
3
=
1
3

∴sin∠ABC=
1-
1
9
=
2
2
3

故答案為:
2
2
3
點(diǎn)評:本題考查線面角,解題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)線段的長度,確定線面角,再利用余弦定理求解.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在空間中,若射線OA、OB、OC兩兩所成角都為
π3
,且OA=2,OB=1,則直線AB與平面OBC所成角的大小為
 

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3
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arccos
3
3
arccos
3
3

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在空間中,若射線OA、OB、OC兩兩所成角都為
π
3
,且OA=2,OB=1,則直線AB與平面OBC所成角的余弦值為
1
3
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在空間中,若射線OA、OB、OC兩兩所成角都為,且OA=2,OB=1,則直線AB與平面OBC所成角的余弦值為   

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同步練習(xí)冊答案
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