Question

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別為a，b，c，其外接圓的半徑R=1，則（4a²+9b²+c²）（

1

sin2A

+

1

sin2B

+

1

sin2C

）的最小值為

 

．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：由正弦定理求出

1

sin2A

、

1

sin2B

、

1

sin2C

，代入式子化簡后，利用基本不等式求出式子的最小值．

解答： 解：因為外接圓的半徑R=1，所以

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
則

1

sin2A

=

4

a2

、

1

sin2B

=

4

b2

、

1

sin2C

=

4

c2

，
所以（4a²+9b²+c²）（

1

sin2A

+

1

sin2B

+

1

sin2C

）
=（4a²+9b²+c²）（

4

a2

+

4

b2

+

4

c2

）
=16+

16a2

b2

+

16a2

c2

+

36b2

a2

+36+

36b2

c2

+

4c2

a2

+

4c2

b2

+4
=56+（

16a2

b2

+

36b2

a2

）+（

16a2

c2

+

4c2

a2

）+（

36b2

c2

+

4c2

b2

）
≥56+2

16a2 b2 • 36b2 a2

+2

16a2 c2 • 4c2 a2

+2

36b2 c2 • 4c2 b2

=56+48+16+24=144，（當且僅當c=

2

a=

3

b時取等號），
故所求的最小值是144，
故答案為：144．

點評：本題考查正弦定理，以及基本不等式的應用，注意等號成立的條件的驗證，屬于中檔題．