Question

已知函數f（x）=-x²-2x，g（x）=

x+ 1 4x ，x＞0 x+1，x≤0

若方程g[f（x）]-a=0的實數根的個數有4個，則a的取值范圍（　　）

• A、[1，

  5

  4

  )
• B、[1，+∞）
• C、（1，+∞）
• D、(-

  5

  4

  ，1]

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由題意化簡f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1≤1；從而討論f（x）在分段函數的哪一段，再分段討論各自的解的個數，最后綜合即可．

解答： 解：f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1≤1；
當x≤0時，g（x）≤1；
故當a≤1時，
f（x）+1=a；
f（x）=a-1≤0；
故f（x）=a-1有兩個解；
②當0＜-（x+1）²+1≤1，即0＜x＜2時；
f（x）+

1

4f(x)

≥1；
（當且僅當f（x）=

1

2

時，等號成立）
且當f（x）∈（0，

1

2

]時，f（x）+

1

4f(x)

∈[1，+∞）；
當f（x）∈[

1

2

，1]時，f（x）+

1

4f(x)

∈[1，

5

4

]；
故當a=1時，f（x）=

1

2

，有兩個解；
當1＜a＜

5

4

時，f（x）=b∈（0，

1

2

）或f（x）=c∈（

1

2

，1）；
分別有兩個解，共4個解；
當a=

5

4

時，f（x）=b∈（0，

1

2

）或f（x）=1；
故有三個解；
綜上所述，當1≤a＜

5

4

時，方程g[f（x）]-a=0的實數根的個數有4個；
故選A．

點評：本題考查了分段函數與復合函數的根的個數的判斷，分類比較困難，屬于中檔題．