Question

【題目】已知橢圓的短軸長為2，離心率為，，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，直線與的斜率之積為，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，記，的面積分別為，.

①若兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，求直線的斜率；

②證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)短軸長得，再根據(jù)離心率以及的關(guān)系式可解得，從而可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）①設(shè)出的斜率，寫出的方程與橢圓聯(lián)立解出的坐標(biāo)，再根據(jù)的斜率關(guān)系得的斜率和方程與橢圓聯(lián)立解出的坐標(biāo)，根據(jù)，關(guān)于軸對稱，列式可求得；

②用的方程聯(lián)立解得的坐標(biāo)，通過兩點(diǎn)間的距離算得，只要證明，就可證明.

（1）橢圓的短軸長為，離心率為，

所以，，

解得.

所以橢圓方程為.

（2）

①設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，

聯(lián)立，消去并化簡得，

解得，所以.

因為直線的斜率乘積為，所以直線的方程為，

聯(lián)立，消去并化簡得，

解得，所以.

因為關(guān)于軸對稱，所以，

即，解得.

當(dāng)時，由，解得，在橢圓外，不滿足題意.

所以直線的斜率為.

②由①得，，，

由，解得.

即.

所以，

，

.

同理利用兩點(diǎn)間的距離公式求得，

，

所以.

所以，

因為，所以

.

即.