Question

19．已知雙曲線${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的離心率為$\frac{m}{2}$，且拋物線y²=mx的焦點為F，點P（3，y₀）（y₀＞0）在此拋物線上，M為線段PF的中點，則點M到該拋物線的準線的距離為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 依題意，可求得雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率e=2，于是知m=4，從而可求拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準線方程為x=-1，繼而可得點M的橫坐標為2，從而得到答案．

解答 解：∵雙曲線${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的離心率為$\frac{\sqrt{1+3}}{1}$=$\frac{m}{2}$，
∴m=4，
∴拋物線y²=mx=4x的焦點F（1，0），準線方程為x=-1；
又點P（3，y₀）在此拋物線上，M為線段PF的中點，
∴點M的橫坐標為：$\frac{1+3}{2}=2$，
∴點M到該拋物線的準線的距離d=2-（-1）=3，
故選：A．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查雙曲線的離心率，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．