Question

15．如圖，菱ABCD與四邊形BDEF相交于BD，∠ABC=120°，BF⊥平面ABCD，DE∥BF，BF=2DE，AF⊥FC，M為CF的中點，AC∩BD=G．
（I）求證：GM∥平面CDE；
（II）求證：平面ACE⊥平面ACF．

Answer 1

分析 （I）取BC的中點N，連接GN，MN，GM，則可證MN∥DE，GN∥CD，于是平面GMN∥平面CDE，從而GM∥平面CDE；
（II）連接GE，GF，則有AF=CF，從而FG⊥AC，利用菱形的性質和勾股定理可得FG⊥GE，于是FG⊥平面ACE，于是平面ACE⊥平面ACF．

解答 證明：（Ⅰ）取BC的中點N，連接GN，MN，GM．
∵四邊形ABCD是菱形，∴G為AC中點，
∴GN∥CD，
又因為M，N分別為FC，BC的中點，
∴MN∥FB，又DE∥BF，
∴DE∥MN，
又MN∩GN=N，
∴平面GMN∥平面CDE，
又GM?平面GMN，
∴GM∥平面CDE．
（Ⅱ）連接GE，GF，因為四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，又BF⊥平面ABCD，
∴AF=CF，又G是AC的中點，
∴FG⊥AC．
設菱形的邊長為2，∵∠ABC=120°，
∴$GB=GD=1，GA=GC=\sqrt{3}$，
又AF⊥FC，∴$FG=GA=\sqrt{3}$，
∴$BF=\sqrt{2}$，$DE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵BF⊥平面ABCD，DE∥BF，
∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥DG，
∴$GE=\sqrt{1+\frac{1}{2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
在直角梯形BDEF中，得$EF=\sqrt{\frac{1}{2}+4}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴EF²=GF²+GE²，∴FG⊥GE，
又AC∩GE=G，
∴FG⊥平面ACE，又FG?平面ACF，
∴平面ACE⊥平面ACF．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題．