Question

已知函數f（x）=x²-3|x-a|其中a∈R．
（1）當a=0時，方程f（x）=b+1恰有三個根，求實數b的值；
（2）若a＞0，函數g（x）=x³+1-xf（x）在區間（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m，n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,函數的零點與方程根的關系

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：（1）當a=0時，方程化為x²-3|x|=b+1，令y=x²-3|x|，y=b+1，作圖解答；
（2）g（x）=x³+1-xf（x）=3x|x-a|+1=

3x2-3ax+1，x≥a -3x2+3ax+1，x＜a

，作出圖象解答．

解答： 解：（1）當a=0時，方程x²-3|x|=b+1，
令y=x²-3|x|，y=b+1，
作圖如下，

則b+1=0，解得b=-1；
（2）g（x）=x³+1-xf（x）=3x|x-a|+1，（a＞0）
g（x）=

3x2-3ax+1，x≥a -3x2+3ax+1，x＜a

，作圖如下，

由g（

a

2

）=-3

a2

4

+

3a2

2

+1=3x02-3ax₀+1，
解得x₀=

2 +1

2

a；
要使g（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，
m的取值范圍為[0，

a

2

），n的取值范圍為（a，

2 +1

2

a]．

點評：本題考查了函數與方程的關系，同時考查了數列結合的數學思想，屬于難題．