Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
（1）設橢圓的半焦 距c=1，且a²，b²，c²成等差數列，求橢圓C的方程；
（2）設（1）中的橢圓C與直線y=kx+1相交于P、Q兩點，求

OP

•

OQ

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：等差數列與等比數列,向量與圓錐曲線

分析：（1）根據題意，利用橢圓的幾何性質，求出a²，b²即可1；
（2）把直線方程y=kx+1代入橢圓方程，消去y，得（3k²+2）x²+6kx-3=0；利用根與系數的關系表示出

OP

•

OQ

的值，求出

OP

•

OQ

的取值范圍．

解答： 解：（1）∵c=1，且a²，b²，c²成等差數列，
∴a²=b²+1，且2b²=a²+1；
解得a²=3，b²=2；
∴橢圓C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1； …（5分）
（2）將y=kx+1代入橢圓方程，得

x2

3

+

(kx+1)2

2

=1；
 化簡得，（3k²+2）x²+6kx-3=0；
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

6k

3k2+2

，x₁x₂=-

3

3k2+2

； …（8分）
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）
=（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=-

3(k2+1)

3k2+2

-

6k2

3k2+2

+1
=

-6k2-1

3k2+2

=-2+

3

3k2+2

； …（10分）
由k²≥0，得3k²+2≥2，
∴0＜

3

3k2+2

≤

3

2

，
∴-2＜-2+

3

3k2+2

≤-

1

2

；
∴

OP

•

OQ

的取值范圍是（-2，-

1

2

]．…（13分）

點評：本題考查了等差數列的應用問題，也考查了平面向量的應用問題，考查了橢圓的幾何性質的應用問題，是綜合題目．