Question

13．設$a=\int_0^π{（cosx-sinx）dx}$，則二項式${（{x^2}+\frac{a}{x}）^6}$展開式中x³項的系數為（　　）

• A． -2
• B． 20
• C． -160
• D． 160

Answer 1

分析 根據微積分基本定理首先求出a的值，然后再根據二項式的通項公式求出k的值，問題得以解決．

解答 解：∵$a=\int_0^π{（cosx-sinx）dx}$|$\left.\begin{array}{l}{π}\\{0}\end{array}\right.$=-2，
∴${（{x^2}+\frac{a}{x}）^6}$=（x²-$\frac{2}{x}$）⁶
則${（{x^2}+\frac{a}{x}）^5}$展開式的通項公式為T_n+1=C${\;}_{6}^{k}$•（x²）^6-k•（$\frac{2}{x}$）^k=（-2）^k•C${\;}_{6}^{k}$•x^12-3k，
令12-3k=3，
解得，k=3，
故二項式${（{x^2}+\frac{a}{x}）^6}$展開式中x³項的系數為-8×20=-160．
故選：C．

點評 本題主要考查了微積分基本定理和二項式的通項公式，培養了學生的計算能力．