Question

18．設A₁，A₂分別為雙曲線C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的上下頂點，若雙曲線上存在點M使得兩直線斜率k${\;}_{M{A}_{1}}$•k${\;}_{M{A}_{2}}$，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
• B． （1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
• C． （$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）
• D． （1，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 由題意可知：求得MA₁和MA₂斜率，${k}_{M{A}_{1}}$•${k}_{M{A}_{2}}$=$\frac{{y}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$，代入雙曲線，求得b和a的關系，由離心率公式，即可求得雙曲線C的離心率的取值范圍．

解答 解：設M（x，y），A₁（0，a），A₂（0，-a），
則${k}_{M{A}_{1}}$=$\frac{y-a}{x}$，${k}_{M{A}_{2}}$=$\frac{y+a}{x}$，
∴${k}_{M{A}_{1}}$•${k}_{M{A}_{2}}$=$\frac{{y}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$，（*）．
又M（x，y）在雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，
∴y²=a²（$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+1），代入（*）式得，$\frac{{a}^{2}{x}^{2}}{^{2}{x}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$＞2，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1＜$\frac{1}{2}$，
解得：1＜e＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的性質，考查斜率公式及雙曲線的離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題．