Question

2．某糖果廠生產A、B兩種糖果，A種糖果每箱獲利潤40元，B種糖果每箱獲利潤50元，其生產過程分為烹調、包裝兩道工序，下表為每箱糖果生產過程中所需平均時間（單位：機器分鐘）

	烹調	包裝	利潤
A	1	3	40
B	2	2	50

每種糖果的生產過程中，烹調的設備至多只能用機器20機器小時，包裝的設備只能用機器30機器小時，試問每種糖果各生產多少箱可獲得最大利潤，最大利潤為多少．

Answer 1

分析 先設生產A種糖果x箱，生產B種糖果y箱，可獲利潤z元，列出約束條件，設z=40x+50y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=40x+50y過可行域內的點時，從而得到z值即可．

解答 解：由題意，設生產A種糖果x箱，生產B種糖果y箱，可獲利潤z元，即求
z=40x+50y在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤1200}\\{3x+2y≤1800}\\{x＞0，y＞0}\end{array}\right.$下的最大值．
利用可行域，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1200}\\{3x+2y=1800}\end{array}\right.$得P（300，450）．
作直線l₀：40x+50y=0，平移l₀經過點P時，
∴z_max=40×300+50×450=34500．
所以生產A種糖果300箱，生產B種糖果450箱時，可以獲得最大利潤34500元．

點評 在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數Z與直線截距之間的關系⇒④使用平移直線法求出最優解⇒⑤還原到現實問題中．