Question

12．函數y=$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{2}{co{s}^{2}x}$的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3+2$\sqrt{2}$
• D． 3-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設sin²x=t∈（0，1），則cos²x=1-t∈（0，1），函數y=$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{2}{co{s}^{2}x}$=$\frac{1}{t}$+$\frac{2}{1-t}$=f（t），利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答 解：設sin²x=t∈（0，1），則cos²x=1-t∈（0，1），
則函數y=$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{2}{co{s}^{2}x}$=$\frac{1}{t}$+$\frac{2}{1-t}$=f（t），
則f′（t）=$-\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{2}{（1-t）^{2}}$=$\frac{{t}^{2}+2t-1}{（{t}^{2}-t）^{2}}$，令f′（t）=0，t∈（0，1），解得t=$\sqrt{2}$-1．
∴f（t）的最小值=f（$\sqrt{2}$-1）=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$+$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=3+2$\sqrt{2}$．
即函數y=$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{2}{co{s}^{2}x}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、三角函數求值、“換元法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．