Question

17．已知各項均不相等的等差數{a_n}的前五項S₅=20，a₁，a₃，a₇成等比數列．
（1）求數{a_n}的通項公式；
（2）T_n為數{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的n項和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使得T_n-λa_n+1≥0成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設數列{a_n}的公差為d，運用等差數列的求和公式和等比數列的性質，解方程可得a₁=2，d=1，再由等差數列的通項即可得到；
（2）運用裂項相消求和，求得T_n；
（3）把a_n、T_n代入T_n-λa_n+1≥0，再由參數分離和基本不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設數列{a_n}的公差為d（d≠0），由已知得$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=20}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$，
故a_n=2+n-1=n+1；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$；
（3）∵存在n∈N^*，使得T_n-λa_n+1≥0成立，
∴存在n∈N^*，使得$\frac{n}{2（n+2）}$-λ（n+2）≥0成立，
即λ≤$\frac{n}{2（n+2）^{2}}$有解，
即有λ≤[$\frac{n}{2（n+2）^{2}}$]_max，
而$\frac{n}{2（n+2）^{2}}=\frac{1}{2（n+\frac{4}{n}+4）}$≤$\frac{1}{2（2\sqrt{n•\frac{4}{n}}+4）}=\frac{1}{16}$，n=2時取等號．
∴λ≤$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查等差數列的通項和求和公式的運用，同時考查等比數列的性質，以及數列的求和方法：裂項相消求和，運用參數分離和基本不等式是解題的關鍵，是中檔題．